Das verflixte Geschwisterproblem

Mein aktuelles Rätsel der Woche sorgt für einige Diskussionen, mit denen ich durchaus  gerechnet hatte. Denn das Ergebnis erscheint vielen Lesern unplausibel – mir ging es anfangs auch so. Worum geht es?

Martina und Stefanie haben je zwei Kinder. Von Martina wissen wir, dass mindestens eines ihrer Kinder ein Junge ist. Über das Geschlecht des zweiten Kindes ist nichts bekannt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martina zwei Söhne hat? Die richtige Antwort lautet: 1/3.

Eines der Kinder von Stefanie ist ebenfalls ein Junge, über das zweite Kind liegen keine Angaben vor. Allerdings gibt es noch eine zusätzliche Information: Das Kind, von dem wir wissen, dass es ein Junge ist, wurde an einem Dienstag geboren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Stefanie zwei Söhne hat? Die richtige Antwort lautet nicht etwa 1/3, wie viele glauben, sondern 13/27.

Das mag man kaum glauben. Warum ändert das Wissen über den Geburtstag des einen Kindes die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das andere Kind ein Junge ist?

Die kurze Antwort: Weil das Wissen über den Geburtstag zu einer anderen Auswahl von möglichen Fällen führt (bei denen ein Kind ein Junge ist und an einem Dienstag geboren wurde und jenen Fällen). Und auch zu einer anderen Auswahl der Fälle, bei denen beide Kinder Jungen sind.

Ich möchte das Prinzip des Problems mit zwei Würfeln erklären. Die Augenzahlen 1, 2, 3 stehen für Junge und 4, 5 , 6 für Mädchen. Wenn wir zwei Würfel werfen, ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Jungen 1/4, für zwei Mädchen ebenfalls 1/4 und für Geschwister unterschiedlichen Geschlechts 1/2 (ergibt sich aus Kombinationen Mädchen-Junge und Junge-Mädchen).
Jetzt kommt eine Zusatzinfo hinzu – ähnlich zum Dienstag oben. Der Junge von Stefanie soll zwischen 8 und 16 Uhr auf die Welt gekommen sein. Wir nehmen an, dass Geburten gleichmäßig über den Tag verteilt sind. Es gibt daneben also noch die Zeiten 0-8 und 16-24. Alle drei sind gleichwahrscheinlich.

Wir weisen nun den Augenzahlen diese Uhrzeiten zu:

  • 1 steht für einen Jungen mit der Geburtszeit 0-8,
  • 2 für einen Jungen mit 8-16,
  • 3 für einen Jungen mit 16-24,
  • 4 für ein Mädchen von 0-8,
  • 5 für ein Mädchen von 8-16,
  • 6 für ein Mädchen von 16-24.

Wenn Stefanie ihre zwei Kinder bekommt, muss sie quasi zweimal würfeln. Der erste Würfel steht für das erste Kind, der zweite für das zweite Kind.

Nun stellen wir die Rätselfrage anders:

Zwei Würfel werden geworfen, einer zeigtedie Augenzahl 2 an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der andere Würfel die Augenzahlen 1, 2 oder 3 hat?

Folgende Tabelle zeigt die 6×6 = 36 möglichen Kombinationen beim Werfen zweier Würfel, die alle gleich wahrscheinlich sind:

Zwei Würfel neu

Wie lösen wir die Aufgabe? Wir markieren zuerst alle Felder blau, bei denen mindestens ein Würfel die Augenzahl 2 hat. Das sind eine Spalte und eine Zeile mit zusammen 11 Feldern.

Zwei Würfel eine 2

Danach identifizieren wir unter diesem 11 Feldern jene, bei denen der andere Würfel, der nicht die Augenzahl 2 hat, die Augenzahlen 1, 2 oder 3 hat. Wir finden 5 Felder – hier violett markiert.

Zwei Würfel Lösung

Weil alle diese 11 Kombinationen der zwei Würfel gleich wahrscheinlich sind, lautet das Ergebnis 5/11.

Genau das ist auch das Ergebnis der Frage nach Stefanies anderem Kind, wenn wir von dem einen wissen, dass es ein Junge ist und dieser zwischen 8 und 16 Uhr geboren wurde. Dazu folgende Tabellen – zuerst der Blick auf alle 36 Kombinationen:

Zwei Würfel + Geschwister

Dann die Selektion: Ein Kind ist ein Junge, das zwischen 8 und 16 Uhr geboren wurde – es sind 11 verschiedene Kombinationen möglich (dunkelblaue Felder):

Geschwister Kombinationen neu

Und schließlich die Auswahl der 5 Kombinationen, bei denen beide Kinder Jungen sind – hier violett hervorgehoben:

Geschwister Lösung neu

Wie schon bei dem Würfelbeispiel oben ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kinder  Jungen sind, 5/11. Und nicht etwa 1/3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ESC 2015: Beim Publikum hat Italien gewonnen

Es war eine turbulente Nacht beim Eurovision Song Contest in Wien – und am Ende hieß der Sieger Schweden. Doch hätte allein das Publikum entschieden, wäre der Schwede Måns Zelmerlöw nur Dritter geworden. Platz zwei wäre an Russland gegangen – der Sieg aber an die drei Tenöre Il Volo aus Italien.

Viele ESC-Zuschauer wissen gar nicht, dass ihre Stimme nur zu 50 Prozent in die Wertung einfließt. Über die anderen 50 Prozent entscheidet eine fünfköpfige Jury, meist besetzt mit Musikexperten. In der deutschen Jury saß unter anderem Ferris MC von Deichkind. Solange Jury und Publikum ähnlich urteilen, hat das kaum Auswirkungen auf die Wertung. Sobald aber die Meinungen stark auseinandergehen, kann das passieren, was nun in Wien zu beobachten war: Italien, der klare Sieger des Televotes, geht leer aus.

ESC 2015 Saeulen Hätte allein das Publikumsvote gezählt, wäre Italien mit 365 Punkten unangefochten auf Platz 1 gelandet. Die folgenden Plätze wären an Russland (286 Punkte) und Schweden gegangen (272). Bei der offiziellen Gesamtpunktzahl hingegen ergab sich die bekannte Reihenfolge Schweden (365), Russland (303) und erst als Dritter Italien mit 292 Punkten.

Den Berechnungen hier liegt der übliche ESC-Modus zugrunde: Jedes der 40 Länder vergibt insgesamt 58 Punkte, der Erstplatzierte bekommt 12 Punkte, der zweite 10, der dritte 8, der vierte 7, … und der zehnte 1 Punkt.

Der Schwede Måns Zelmerlöw bekam den Grand Prix nur deshalb, weil er von den Experten aus den Jurys so hoch bewertet wurde. Die Details können Sie dem Diagramm oben und der folgenden Tabelle entnehmen:

ESC 2015 TabelleIm Vorjahr hatte bekanntlich Conchita Wurst den Eurovision Song Contest gewonnen – mit 290 Punkten. Der Sieg des Travestiekünstlers wäre aber noch viel deutlicher ausgefallen, hätten allein die Stimmen des Publikums gezählt – mehr dazu in meinem Text von vor einem Jahr. Immerhin wurde Conchita von den Jurys 2014 nicht um den Sieg gebracht. Denn auch bei ihnen lag Österreich ganz vorn, allerdings nur knapp.

Bei den drei Tenören von Il Volo aus Italien war das anders. Im Urteil der Jurys kam Italien insgesamt nur auf Rang 6 – und hatte so keine Chance, den Grand Prix zu gewinnen.

Wie unterschiedlich Publikum und Jury urteilten, zeigen die Beispiele Frankreich und Deutschland. Die Jury unseres Nachbarlandes wählte Il Volo auf Rang 15, die deutsche Jury sogar nur auf Rang 18. In beiden Fällen gleichbedeutend mit 0 Punkten, wenn die Juryentscheidung in Punkte ungerechnet worden wären.

Beim französischen und deutschen Televote kam Italien hingegen auf Platz 1, was 12 Punkten entspräche. Die offizielle Punktzahl wird wie folgt berechnet: Der Rang von Jury und der Rang Televote werden addiert. Das Land mit der niedrigsten Summe bekommt 12 Punkte, das zweite 10 und so weiter. So können sehr niedriger Rang und ein hoher Rang zusammen einen mittleren bis niedrigen Gesamtrang ergeben. Aus Deutschland bekam das italienische Trio schließlich nur 3 Punkte, aus Frankreich 6.

Vielleicht ein kleiner Trost für Deutschland: Bei den Jurys hätte die deutsche Sängerin Ann Sophie immerhin 24 Punkte eingeheimst – nur in der Gesamtwertung ging sie leer aus (0 Punkte).

Wer gern mit den ESC-Punkten spielen will: Hier ist die Datei ESC-2015-grand_final-full_results_holger mit den vollständigen Daten.

Wer hat eigentlich den ESC 2014 entschieden?

Conchita Wurst hat den Eurovision Song Contest gewonnen. Der Travestiekünstler aus Österreich mit dem bürgerlichen Namen Tom Neuwirth bekam 290 Punkte. Platz 2 und 3 gingen an die The Common Linnets aus den Niederlanden (238 Punkte) und Sanna Nielsen aus Schweden (218 Punkte). Aber war das wirklich so ein klarer Sieg, wie ihn die Punktabstände suggerieren?

Viele Zuschauer wissen gar nicht, dass die Stimmvergabe eines Landes nur zum Teil übers Telefonvoting entschieden wird. In fast allen Ländern entscheidet eine fünfköpfige Jury mit – ihr Urteil und das Televote ergeben dann mit einer Gewichtung von je 50 Prozent das Gesamtvorting. Der ESC ist, wenn man so will, eine Mischung aus Demokratie und Expertokratie, denn die Jurys werden mit Vertretern aus der Musikbranche besetzt.

Natürlich sind Volkes Stimme und die Experten nicht immer einer Meinung. Beispiel Deutschland: Die Jury, in der unter anderem Jennifer Weist von der Band Jennifer Rostock und der Rapper Sido saßen, war von Conchita Wurst nur mäßig angetan. Im gemeinsamen Ranking der fünf Branchenvertreter kam sie nur auf Platz 11. Beim deutschen Televoting hingegen holte Conchita Wurst Platz 1. Beide Votes zusammen ergeben Platz 4 und damit 7 Punkte.

Da liegt natürlich die Frage nah: Wo hat Conchita Wurst eigentlich die meisten Unterstützer? Bei den Anrufern oder bei den Juryexperten? Und wie wäre der ESC ausgegangen, wenn allein das Televoting gezählt hätte? Und für wen hätten sich die Branchenvertreter aus den Jurys gemeinsam entschieden?

Die Ranglisten der Jurys und Telefonvotes sind auf der englischsprachigen ESC-Webseite komplett abrufbar – das Ganze lässt sich also leicht in Excel ausrechnen. Und das habe ich getan! 26 Titel waren im ESC-Finale, 37 Länder haben die Punkte vergeben. In Albanien und San Marino gab es kein Telefon-Vote, dort entschied allein eine Jury. In Georgien wiederum gab es nur ein Televoting. In den übrigen 34 Ländern entschieden Jury und Anrufer gemeinsam.

Den Berechnungen hier liegt der übliche ESC-Modus zugrunde: Jedes der 37 Länder vergibt insgesamt 58 Punkte, der Erstplatzierte bekommt 12 Punkte, der zweite 10, der dritte 8, der vierte 7, … und der zehnte 1 Punkt.

 

Hätten ausschließlich die Televotings beim ESC entschieden, wäre der Triumph von Conchita Wurst noch deutlicher ausgefallen. Sie hätte dann 306 Punkte erreicht – die Niederlande und Armenien würden mit 220 beziehungsweise 187 Punkte folgen. Schweden wäre auf Rang vier gelandet (173 Punkte) statt auf Platz 3 wie in der offiziellen Reihenfolge. Das gesamte Ranking finden Sie in der folgenden Tabelle (grüne Schrift):

ESC 2014

Hätten allein die Jurys über den ESC 2014 entschieden, wäre das Ergebnis zwar nicht anders, aber viel knapper ausgefallen – siehe rote Schrift. Österreich käme auf nur noch 214 Punkte, was aber immer noch für die Führung vor den Niederlanden (200 Punkte) und Schweden (199 Punkte) reicht.

Folgendes Diagramm zeigt die Platzierungen aus der Tabelle oben in Balkenform – nach den Modi Televote (grün), nur Jury rot) und Gesamt (grau). Gesamt entspricht der offiziellen ESC-Wertung. Die Länder sind nach dem Televote sortiert. Schön zu sehen ist, dass Länder wie Malta Aserbaidschan, Finnland und Norwegen zwar bei den Jurys gut punkteten – nicht aber bei den Anrufern.

ESC 2014 Punkte im Vergleich

Zum Schluss noch ein besonders spannender Blick auf die Punkte, die Österreich bekommen hat. Das Diagramm zeigt die von jedem Land an Österreich vergebenen Punkte in den Modi nur Jury und nur Televote (zum Vergrößern anklicken):

Conchita Wurst Jury vs. TelevoteBei vielen Ländern waren sich Anrufer und Experten weitgehend einig – die roten und blauen Balken sind ähnlich lang. Bei einem Drittel der Länder weicht Volkes Stimme jedoch deutlich vom Juryurteil ab – und zwar immer deutlich nach oben. Dazu gehören Portugal und Deutschland – aber auch viele ehemalige Ostblockstaaten wie Russland, Polen, Rumänien, Ungarn, Weißrussland und Polen.

Die eher geringe Toleranz in Osteuropa gegenüber Travestie und Homosexuellen spiegelt sich zwar im offiziellen Juryurteil wider – Österreich bekam dort kaum Punkte. Bei den Anrufern war Conchito Wurst hingegen populär. In Georgien und Armenien etwa holte sie  10 Punkte beim Televote, in Putins Russland immerhin 8 – von der Jury allein hätte das Lied keinen Punkt bekommen.

Vor diesem Hintergrund wirkt es besonders komisch, wenn nun russische Politiker vor dem Ende Europas warnen wie Wladimir Schirinowski. In Russland sammelte Conchita Wurst schließlich so viele Televotes ein, dass es auf Rang 3 (=8 Punkte) kam. Die namentlich bekannten russischen Jurymitglieder wählten Österreich auf Platz 11, weshalb es in der offiziellen russischen Gesamtwertung auf Platz 6 rutschte und nur 5 Punkte bekam.

Nachtrag: Wo die Fans “polnischer Folklore” wohnen

Beim Spielen mit den Votes der Zuschauer und der Jurys ist mir noch das Kuriosium Polen aufgefallen. Ich fand den Beitrag “My Słowianie – We Are Slavic” von Donatan und Cleo musikalisch eher dünn. Den Jury-Mitgliedern ging es offenbar ähnlich: Gerade mal in sechs Ländern schaffte er es im Expertenvote unter die Top-10 – und dabei auch nur auf die hinteren Ränge (blaue Balken im Diagramm unten). Die einzige Ausnahme bilden die deutschen Juroren, die Polen auf Platz 4 hievten, was 7 Punkten entsprechen würde, wenn allein das Voting der Jury über die Punkte entscheiden würde. (Diagramm zum Vergrößern anklicken)

ESC 2014 Polen

Ganz anders haben die Anrufer entschieden. In 12 Ländern schaffte es der polnische Song unter die ersten Top-3! Lag’s etwa an der üppigen Oberweite der Frau, die sich am Wäsche waschen mit der Hand versuchte? Hier die Länder, in denen Anrufer offenbar besonders auf “polnische Folklore” stehen – sie liegen bis auf die Ukraine und Mazedonien sämtlich in Westeuropa:

Platz 1:
Ukraine, Irland, Norwegen, UK

Platz 2:
Island, Niederlande

Platz 3:
Deutschland, Italien, Österreich, Mazedonien, Frankreich, Schweden

Ähnlich auffällige Diskrepanzen gab es auch beim Beitrag aus der Schweiz. Das Lied punktete sehr oft bei den Zuschauern (rot), jedoch kaum bei den Jurys (blau).

ESC 2014 Schweiz

Wer einen Blick auf die Rohdaten werfen will – hier ist die Excel-Datei mit den Platzierungen aller Länder, aus denen sich die Punkte berechnen lassen: ESC 2014 Daten. Beim Juryurteil und dem Televote habe ich dem erstplatzierten Team 12 Punkte, dem zweiten 10, dem dritten 8, … und dem zehnten 1 Punkt gegeben. Zur Berechnung der offiziellen ESC-Wertung werden für jedes Land einzeln die Platzierungen von Jury und Televote addiert. Das Land mit der kleinsten Summe bekommt dann 12 Punkte, das mit der zweitkleinsten 10 und so weiter.  Ab Platz 11 gibt es 0 Punkte.

 

Die raffinierten Logik-Zwerge

Das folgende Rätsel hat mir Ansbert Kneip vom Kindermagazin DeinSPIEGEL geschickt – man findet es in verschiedenen Variationen immer wieder. Ich finde es ziemlich schwer, von allein habe ich die Lösung nicht gefunden. Schaffen Sie’s?

In einer dunklen Höhle leben Logik-Zwerge, die entweder eine weiße oder eine schwarze Mütze aufhaben. Die Zwerge wissen nicht, wie viele von ihnen es gibt. Einmal im Jahr  dürfen sie die Höhle verlassen und bekommen eine Aufgabe gestellt. Können sie diese  lösen, sind sie frei. Misslingt die Lösung, müssen sie zurück in die Finsternis.

In diesem Jahr lautet die Aufgabe: Stellt euch nebeneinander auf, und zwar so, dass die Zwerge mit einer weißen Mütze auf der einen Seite stehen und die mit schwarzer Mütze auf der anderen. Dummerweise kann keiner der Zwerge die Farbe seiner eigenen Mütze sehen. Zudem dürfen sie weder miteinander reden noch sich auf sonstige Weise verständigen oder Hinweise geben, etwa mit der Hand oder den Augen. Sie dürfen auch nicht auf Tricks wie einen Spiegel zurückgreifen.

Das einzige, was die Logik-Zwerge nutzen dürfen, ist ihr scharfer Verstand. Wie können sie die Aufgabe lösen?

Lösungen gern per Mail an mich holger.dambeck AT googlemail.com. Viel Erfolg!

Mit Elfteln rechnen

Letzte Woche hatte ich folgende Frage gestellt: Punkt Mitternacht stehen großer und kleiner Zeiger genau übereinander. Wie viel Zeit vergeht, bis das wieder der Fall ist?

Uhr 2 quer

Offensichtlich vergeht mehr als eine Stunde, denn erst kurz nach 1.00 Uhr überrundet der große den kleinen Zeiger. Man könnte die Aufgabe mit einem Gleichungssystem lösen, in dem die Zeit t die Unbekannte ist. Wir kennen die Position beider Zeiger um 0.00 Uhr – sie stehen beide auf der 12. Kurz nach 1.00 Uhr treffen sie sich wieder. Der große Zeiger hat dann exakt 360 Grad mehr zurückgelegt als der kleine Zeiger. Also gilt

vg * t – 360 Grad = vk * t

(Wobei vg und vt die Winkelgeschwindigkeit von großem bzw. kleinem Zeiger sind. vg = 360 Grad/Stunde, vk = 30 Grad/Stunde)

Diese Gleichung löst man nach t auf – das ist die Standardlösung.

Schöner finde ich jedoch die Folgende: Um 0.00 Uhr und um 12.00 Uhr stehen die Zeiger exakt übereinander. Zwischen 0.00 und 12.00 Uhr gibt es zehn Überholmanöver. Diese teilen die zwölf Stunden in elf gleich lange Zwischenräume ein, denn die Zeiger bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit. Der Abstand zwischen zwei Begegnungen ist deshalb 12/11 Stunden. Eine elftel Stunde entspricht etwa 5 Minuten und 27 Sekunden. Beim ersten Wiedertreffen der Zeiger nach Mitternacht ist es demnach 1:05:27 Uhr.

Noch ein Uhrenrätsel

Mit der Frage nach dem Winkel zwischen großem und kleinem Zeiger um 15.10 Uhr habe ich letzte Woche so manchen aufs Glatteis geführt. Hier kommt noch ein Uhrenrätsel – und das ist noch eine ganze Ecke schwieriger, wie ich finde.

Uhr quer

Punkt Mitternacht stehen großer und kleiner Zeiger genau übereinander. Wie viel Zeit vergeht, bis das wieder der Fall ist? Anders formuliert: Wie spät ist es beim nächsten Rendezvous der Zeiger?

Lösungen bitte an holger.dambeck AT googlemail.com – diesmal geht es nicht um ein Buch, sondern nur um Ruhm und Ehre.

Es sind 35 Grad

Die Lösung des gestrigen Uhrenrätsels war wohl doch nicht ganz so leicht. Ich hatte gefragt, in welchem Winkel die Zeiger einer Uhr um 15.10 Uhr zueinander stehen. In der ersten E-Mail, die ich bekam, stand 30 Grad. Und in der darauf folgenden auch. Leider stimmt das aber nicht.

Der Winkel ist ein Stückchen größer. Der große Zeiger steht um 15.10 Uhr auf der 2 des Ziffernblatts. Der Winkel bis zur 3 ist genau 30 Grad (=1/12 von 360 Grad). Doch der kleine Zeiger befindet sich um 15.10 Uhr nicht mehr genau über der 3. Er hat sich vielmehr in den zehn Minuten seit 15.00 Uhr ein kleines Stück weiterbewegt.

Aber um wie viel Grad? In 12 Stunden überstreicht der kleine Zeiger 360 Grad, also in einer Stunde 30 Grad. 10 Minuten sind ein Sechstel einer Stunde. In dieser Zeit bewegt sich der Zeiger um ein Sechstel von 30 Grad = 5 Grad. Der gesuchte Winkel zwischen den beiden Zeigern beträgt deshalb 35 Grad.

Die schnellste richtige Lösung kam via Twitter – ich nehme Kontakt zu dem Gewinner meines Buchs “Nullen machen Einsen groß” auf. Nächste Woche folgt ein ziemlich raffiniertes Logikrätsel.

Ein Uhrenrätsel

Ich habe mir vorgenommen, in meinem Blog regelmäßig kleine mathematische Rätsel zu stellen. Sie sollen nicht allzu schwer sein – aber manchmal könnte es auch anspruchsvoll werden wie zuletzt bei der Knobelei mit dem Fahrrad. Mal sehen, ob ich das einmal pro Woche hinbekomme. Beginnen möchte ich mit einer relativ leichten Aufgabe:

Die Zeiger der Uhr zeigen die Zeit 15.10 Uhr an. Wie groß ist der Winkel zwischen großem und kleinem Zeiger in diesem Moment?

Die Lösung gibt es morgen hier in meinem Blog.

Es gibt auch etwas zu gewinnen: Schicken Sie die Lösung an holger.dambeck AT googlemail.com – der schnellste Einsender bekommt ein Exemplar meines 2013 erschienenen Buches “Nullen machen Einsen groß”.

Viel Glück!

Heute Verkaufsstart für mein neues Buch

Es geht endlich los: Heute, am 20. Juni, ist mein neues Buch “Nullen machen Einsen groß” offiziell erschienen. Darin beschreibe ich Mathetricks aller Art – von Rechenkniffen bis zu richtigen Zauberkunststücken, die auf Mathematik beruhen. Einige kurze Auszüge werden demnächst auf SPIEGEL ONLINE publiziert.

An dieser Stelle möchte ich ein paar Fotos aus dem vierten Kapitel zeigen, in dem es um Krawattenknoten und Schnürsenkel geht. Es ist unglaublich, wie viele Möglichkeiten es gibt, Schnürsenkel einzufädeln. Ein paar davon sind auf den Fotos zu sehen. Die Fotos stammen von Oliver Mann – ein paar Eindrücke vom Fotoshooting gibt es hier.

Mein neues Buch ist da!

Endlich ist es gedruckt – mein drittes populärwissenschaftliches Buch über Mathematik. In “Nullen machen Einsen groß” geht es um mathematische Kniffe und Kunststücke aller Art. Natürlich sind Rechentricks dabei, aber auch geometrische Spielereien wie das Dritteln eines Winkels und richtige Zaubertricks mit Geburtstagen, Dominosteinen und Spielkarten, die Mathematik nutzen.

Nullen machen Einsen groß

Ich habe ein gutes Gefühl und glaube, dass es tatsächlich mein bisher bestes Buch ist. Es bietet eine bunte Mischung aus relativ leicht zu verstehenden Tricks, enthält aber auch Anspruchsvolleres wie etwa die kaum noch bekannte Trachtenberg-Schnellrechenmethode. Spannend ist sicher auch das Kapitel über Schnürsenkel und Krawattenknoten. Und wer gern knobelt, kann sich an insgesamt 45 Matherätseln ausprobieren.

Ich hoffe, das Buch kommt bei den Lesern ähnlich gut an wie “Je mehr Löcher, desto weniger Käse”. Das hat sich mehrere Wochen in den Top 20 der Bestsellerliste gehalten – und dorthin sollten es auch die Mathetricks schaffen ;-)