Das verflixte Geschwisterproblem

Mein aktuelles Rätsel der Woche sorgt für einige Diskussionen, mit denen ich durchaus  gerechnet hatte. Denn das Ergebnis erscheint vielen Lesern unplausibel – mir ging es anfangs auch so. Worum geht es?

Martina und Stefanie haben je zwei Kinder. Von Martina wissen wir, dass mindestens eines ihrer Kinder ein Junge ist. Über das Geschlecht des zweiten Kindes ist nichts bekannt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martina zwei Söhne hat? Die richtige Antwort lautet: 1/3.

Eines der Kinder von Stefanie ist ebenfalls ein Junge, über das zweite Kind liegen keine Angaben vor. Allerdings gibt es noch eine zusätzliche Information: Das Kind, von dem wir wissen, dass es ein Junge ist, wurde an einem Dienstag geboren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Stefanie zwei Söhne hat? Die richtige Antwort lautet nicht etwa 1/3, wie viele glauben, sondern 13/27.

Das mag man kaum glauben. Warum ändert das Wissen über den Geburtstag des einen Kindes die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das andere Kind ein Junge ist?

Die kurze Antwort: Weil das Wissen über den Geburtstag zu einer anderen Auswahl von möglichen Fällen führt (bei denen ein Kind ein Junge ist und an einem Dienstag geboren wurde und jenen Fällen). Und auch zu einer anderen Auswahl der Fälle, bei denen beide Kinder Jungen sind.

Ich möchte das Prinzip des Problems mit zwei Würfeln erklären. Die Augenzahlen 1, 2, 3 stehen für Junge und 4, 5 , 6 für Mädchen. Wenn wir zwei Würfel werfen, ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Jungen 1/4, für zwei Mädchen ebenfalls 1/4 und für Geschwister unterschiedlichen Geschlechts 1/2 (ergibt sich aus Kombinationen Mädchen-Junge und Junge-Mädchen).
Jetzt kommt eine Zusatzinfo hinzu – ähnlich zum Dienstag oben. Der Junge von Stefanie soll zwischen 8 und 16 Uhr auf die Welt gekommen sein. Wir nehmen an, dass Geburten gleichmäßig über den Tag verteilt sind. Es gibt daneben also noch die Zeiten 0-8 und 16-24. Alle drei sind gleichwahrscheinlich.

Wir weisen nun den Augenzahlen diese Uhrzeiten zu:

  • 1 steht für einen Jungen mit der Geburtszeit 0-8,
  • 2 für einen Jungen mit 8-16,
  • 3 für einen Jungen mit 16-24,
  • 4 für ein Mädchen von 0-8,
  • 5 für ein Mädchen von 8-16,
  • 6 für ein Mädchen von 16-24.

Wenn Stefanie ihre zwei Kinder bekommt, muss sie quasi zweimal würfeln. Der erste Würfel steht für das erste Kind, der zweite für das zweite Kind.

Nun stellen wir die Rätselfrage anders:

Zwei Würfel werden geworfen, einer zeigtedie Augenzahl 2 an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der andere Würfel die Augenzahlen 1, 2 oder 3 hat?

Folgende Tabelle zeigt die 6×6 = 36 möglichen Kombinationen beim Werfen zweier Würfel, die alle gleich wahrscheinlich sind:

Zwei Würfel neu

Wie lösen wir die Aufgabe? Wir markieren zuerst alle Felder blau, bei denen mindestens ein Würfel die Augenzahl 2 hat. Das sind eine Spalte und eine Zeile mit zusammen 11 Feldern.

Zwei Würfel eine 2

Danach identifizieren wir unter diesem 11 Feldern jene, bei denen der andere Würfel, der nicht die Augenzahl 2 hat, die Augenzahlen 1, 2 oder 3 hat. Wir finden 5 Felder – hier violett markiert.

Zwei Würfel Lösung

Weil alle diese 11 Kombinationen der zwei Würfel gleich wahrscheinlich sind, lautet das Ergebnis 5/11.

Genau das ist auch das Ergebnis der Frage nach Stefanies anderem Kind, wenn wir von dem einen wissen, dass es ein Junge ist und dieser zwischen 8 und 16 Uhr geboren wurde. Dazu folgende Tabellen – zuerst der Blick auf alle 36 Kombinationen:

Zwei Würfel + Geschwister

Dann die Selektion: Ein Kind ist ein Junge, das zwischen 8 und 16 Uhr geboren wurde – es sind 11 verschiedene Kombinationen möglich (dunkelblaue Felder):

Geschwister Kombinationen neu

Und schließlich die Auswahl der 5 Kombinationen, bei denen beide Kinder Jungen sind – hier violett hervorgehoben:

Geschwister Lösung neu

Wie schon bei dem Würfelbeispiel oben ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kinder  Jungen sind, 5/11. Und nicht etwa 1/3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Die raffinierten Logik-Zwerge

Das folgende Rätsel hat mir Ansbert Kneip vom Kindermagazin DeinSPIEGEL geschickt – man findet es in verschiedenen Variationen immer wieder. Ich finde es ziemlich schwer, von allein habe ich die Lösung nicht gefunden. Schaffen Sie’s?

In einer dunklen Höhle leben Logik-Zwerge, die entweder eine weiße oder eine schwarze Mütze aufhaben. Die Zwerge wissen nicht, wie viele von ihnen es gibt. Einmal im Jahr  dürfen sie die Höhle verlassen und bekommen eine Aufgabe gestellt. Können sie diese  lösen, sind sie frei. Misslingt die Lösung, müssen sie zurück in die Finsternis.

In diesem Jahr lautet die Aufgabe: Stellt euch nebeneinander auf, und zwar so, dass die Zwerge mit einer weißen Mütze auf der einen Seite stehen und die mit schwarzer Mütze auf der anderen. Dummerweise kann keiner der Zwerge die Farbe seiner eigenen Mütze sehen. Zudem dürfen sie weder miteinander reden noch sich auf sonstige Weise verständigen oder Hinweise geben, etwa mit der Hand oder den Augen. Sie dürfen auch nicht auf Tricks wie einen Spiegel zurückgreifen.

Das einzige, was die Logik-Zwerge nutzen dürfen, ist ihr scharfer Verstand. Wie können sie die Aufgabe lösen?

Lösungen gern per Mail an mich holger.dambeck AT googlemail.com. Viel Erfolg!

Mit Elfteln rechnen

Letzte Woche hatte ich folgende Frage gestellt: Punkt Mitternacht stehen großer und kleiner Zeiger genau übereinander. Wie viel Zeit vergeht, bis das wieder der Fall ist?

Uhr 2 quer

Offensichtlich vergeht mehr als eine Stunde, denn erst kurz nach 1.00 Uhr überrundet der große den kleinen Zeiger. Man könnte die Aufgabe mit einem Gleichungssystem lösen, in dem die Zeit t die Unbekannte ist. Wir kennen die Position beider Zeiger um 0.00 Uhr – sie stehen beide auf der 12. Kurz nach 1.00 Uhr treffen sie sich wieder. Der große Zeiger hat dann exakt 360 Grad mehr zurückgelegt als der kleine Zeiger. Also gilt

vg * t – 360 Grad = vk * t

(Wobei vg und vt die Winkelgeschwindigkeit von großem bzw. kleinem Zeiger sind. vg = 360 Grad/Stunde, vk = 30 Grad/Stunde)

Diese Gleichung löst man nach t auf – das ist die Standardlösung.

Schöner finde ich jedoch die Folgende: Um 0.00 Uhr und um 12.00 Uhr stehen die Zeiger exakt übereinander. Zwischen 0.00 und 12.00 Uhr gibt es zehn Überholmanöver. Diese teilen die zwölf Stunden in elf gleich lange Zwischenräume ein, denn die Zeiger bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit. Der Abstand zwischen zwei Begegnungen ist deshalb 12/11 Stunden. Eine elftel Stunde entspricht etwa 5 Minuten und 27 Sekunden. Beim ersten Wiedertreffen der Zeiger nach Mitternacht ist es demnach 1:05:27 Uhr.

Noch ein Uhrenrätsel

Mit der Frage nach dem Winkel zwischen großem und kleinem Zeiger um 15.10 Uhr habe ich letzte Woche so manchen aufs Glatteis geführt. Hier kommt noch ein Uhrenrätsel – und das ist noch eine ganze Ecke schwieriger, wie ich finde.

Uhr quer

Punkt Mitternacht stehen großer und kleiner Zeiger genau übereinander. Wie viel Zeit vergeht, bis das wieder der Fall ist? Anders formuliert: Wie spät ist es beim nächsten Rendezvous der Zeiger?

Lösungen bitte an holger.dambeck AT googlemail.com – diesmal geht es nicht um ein Buch, sondern nur um Ruhm und Ehre.

Es sind 35 Grad

Die Lösung des gestrigen Uhrenrätsels war wohl doch nicht ganz so leicht. Ich hatte gefragt, in welchem Winkel die Zeiger einer Uhr um 15.10 Uhr zueinander stehen. In der ersten E-Mail, die ich bekam, stand 30 Grad. Und in der darauf folgenden auch. Leider stimmt das aber nicht.

Der Winkel ist ein Stückchen größer. Der große Zeiger steht um 15.10 Uhr auf der 2 des Ziffernblatts. Der Winkel bis zur 3 ist genau 30 Grad (=1/12 von 360 Grad). Doch der kleine Zeiger befindet sich um 15.10 Uhr nicht mehr genau über der 3. Er hat sich vielmehr in den zehn Minuten seit 15.00 Uhr ein kleines Stück weiterbewegt.

Aber um wie viel Grad? In 12 Stunden überstreicht der kleine Zeiger 360 Grad, also in einer Stunde 30 Grad. 10 Minuten sind ein Sechstel einer Stunde. In dieser Zeit bewegt sich der Zeiger um ein Sechstel von 30 Grad = 5 Grad. Der gesuchte Winkel zwischen den beiden Zeigern beträgt deshalb 35 Grad.

Die schnellste richtige Lösung kam via Twitter – ich nehme Kontakt zu dem Gewinner meines Buchs “Nullen machen Einsen groß” auf. Nächste Woche folgt ein ziemlich raffiniertes Logikrätsel.

Ein Uhrenrätsel

Ich habe mir vorgenommen, in meinem Blog regelmäßig kleine mathematische Rätsel zu stellen. Sie sollen nicht allzu schwer sein – aber manchmal könnte es auch anspruchsvoll werden wie zuletzt bei der Knobelei mit dem Fahrrad. Mal sehen, ob ich das einmal pro Woche hinbekomme. Beginnen möchte ich mit einer relativ leichten Aufgabe:

Die Zeiger der Uhr zeigen die Zeit 15.10 Uhr an. Wie groß ist der Winkel zwischen großem und kleinem Zeiger in diesem Moment?

Die Lösung gibt es morgen hier in meinem Blog.

Es gibt auch etwas zu gewinnen: Schicken Sie die Lösung an holger.dambeck AT googlemail.com – der schnellste Einsender bekommt ein Exemplar meines 2013 erschienenen Buches “Nullen machen Einsen groß”.

Viel Glück!