Die raffinierten Logik-Zwerge

Das folgende Rätsel hat mir Ansbert Kneip vom Kindermagazin DeinSPIEGEL geschickt – man findet es in verschiedenen Variationen immer wieder. Ich finde es ziemlich schwer, von allein habe ich die Lösung nicht gefunden. Schaffen Sie’s?

In einer dunklen Höhle leben Logik-Zwerge, die entweder eine weiße oder eine schwarze Mütze aufhaben. Die Zwerge wissen nicht, wie viele von ihnen es gibt. Einmal im Jahr  dürfen sie die Höhle verlassen und bekommen eine Aufgabe gestellt. Können sie diese  lösen, sind sie frei. Misslingt die Lösung, müssen sie zurück in die Finsternis.

In diesem Jahr lautet die Aufgabe: Stellt euch nebeneinander auf, und zwar so, dass die Zwerge mit einer weißen Mütze auf der einen Seite stehen und die mit schwarzer Mütze auf der anderen. Dummerweise kann keiner der Zwerge die Farbe seiner eigenen Mütze sehen. Zudem dürfen sie weder miteinander reden noch sich auf sonstige Weise verständigen oder Hinweise geben, etwa mit der Hand oder den Augen. Sie dürfen auch nicht auf Tricks wie einen Spiegel zurückgreifen.

Das einzige, was die Logik-Zwerge nutzen dürfen, ist ihr scharfer Verstand. Wie können sie die Aufgabe lösen?

Lösungen gern per Mail an mich holger.dambeck AT googlemail.com. Viel Erfolg!

Heute Verkaufsstart für mein neues Buch

Es geht endlich los: Heute, am 20. Juni, ist mein neues Buch “Nullen machen Einsen groß” offiziell erschienen. Darin beschreibe ich Mathetricks aller Art – von Rechenkniffen bis zu richtigen Zauberkunststücken, die auf Mathematik beruhen. Einige kurze Auszüge werden demnächst auf SPIEGEL ONLINE publiziert.

An dieser Stelle möchte ich ein paar Fotos aus dem vierten Kapitel zeigen, in dem es um Krawattenknoten und Schnürsenkel geht. Es ist unglaublich, wie viele Möglichkeiten es gibt, Schnürsenkel einzufädeln. Ein paar davon sind auf den Fotos zu sehen. Die Fotos stammen von Oliver Mann – ein paar Eindrücke vom Fotoshooting gibt es hier.

Champions-Leage-Auslosung noch viel komplizierter

Die Resonanz hat mich überrascht: Da schreibe ich eine kurze, keinesfalls vollständige mathematische Analyse über den seltsamen Zufall bei der Auslosung des Champions-Leage-Achtelfinals. Und Dutzende Leser schicken mir die Ergebnisse ihrer eigenen Berechnungen, die mehrheitlich bestätigen, was ein Kollege aus der SPIEGEL-Dokumentation mit einem kleinen Computerprogramm herausgefunden hat. Bei der Auslosung waren genau 5463 verschiedene Achtelfinal-Varianten möglich.

Allerdings ist das nur die halbe Wahrheit. Denn wie einige Leser zu Recht angemerkt haben, sind diese 5463 Kombinationen nicht automatisch gleichwahrscheinlich, weshalb die Wahrscheinlichkeit, eine Achtelfinalvariante zweimal hintereinander auszulosen auch nicht zwingend 1/5463 sein muss.

Dass das Problem kombinatorisch verzwickter ist, als es auf den ersten Blick aussieht, zeigt schon der Ablauf der Auslosung, den ich mir auch erst im Nachhinein auf YouTube angeschaut habe. Spannend wird die Prozedur ab Achtelfinale 4. Die ersten drei Achtelfinals sind da schon ausgelost: Galatasaray-Schalke, Celtic-Turin und Arsenal-Bayern.

Zuerst wird stets ein Team aus dem Topf der Zweitplatzierten gezogen, und dann wird ihm ein Gruppensieger zugelost. Das nächste Los aus der Gruppe der Zweitplatzierten ist Donezk. Von den fünf Teams im Topf der Erstplatzierten scheidet Turin aus (selbe Gruppe wie Donezk). Als Gegner wird dann Dortmund gezogen.

Fürs nächste Achtelfinale wird der Zweitplatzierte Mailand gezogen – und dann ist die Loserei erst mal vorbei. Denn als Gegner kommt nur Barcelona in Frage, weil ansonsten ein rein spanisches Achtelfinale unvermeidlich ist, was das Reglement verbietet.

Zu diesem Zeitpunkt sind mit Madrid und Valencia noch zwei spanische Teams im Topf der drei verbliebenen Zweitplatzierten. Gleichzeitig befinden sich die beiden spanischen Teams Malaga und Barcelona noch im Topf der Erstplatzierten – gemeinsam mit ManU und Paris.

Das eben gezogene Mailand könnte außer gegen Malaga (selbe Gruppe wie Mailand) eigentlich gegen jedes der drei Teams ManU, Paris und Barcelona spielen. Bekäme Mailand jedoch ManU oder Paris zugelost, gäbe es in den letzten drei Partien vier spanische Teilnehmer und damit zwangsläufig eine rein spanische Begegnung. Also muss einer der beiden spanischen Gruppenersten Mailand zugeordnet werden, und das kann nur Barcelona sein, denn Mailand und Malaga waren in derselben Gruppe.

Danach wird Madrid ManU zugelost und die beiden letzten Spiele stehen damit auch fest: Porto muss gegen Malaga spielen und Valencia gegen Paris – wieder um ein rein spanisches Duell zu verhindern.

Kombinatorisch ist das eine interessante Situation: Offensichtlich gibt es bestimmte Konstellationen bei der Auslosung, in denen die ersten ausgelosten Paarungen die übrigen Paarungen gleich mit festlegen oder zumindest die Zahl der Möglichkeiten stark einschränken. Man könnte glauben, dass die konkrete Situation bei der Verlosung wahrscheinlicher ist als andere mögliche Achtelfinals, weil im diesem Fall gleich zwei Begegnungen nicht gelost wurden, sondern sich automatisch ergaben. (Bemerkung: Valencia wurde als vorletzter Zweiter zwar gelost, aber der Gegner Paris stand schon vorher fest.)

Ganz so einfach ist die Sache nun aber auch nicht, denn die konkreten Achtelfinal-Paarungen könnten auch in ganz anderer Reihenfolge gelost werden, z.B. Porto-Malaga zuerst. Dabei kann es passieren, dass Situationen, bei denen ein Gegner ohne Auslosung feststeht, gar nicht auftreten. Im Grunde sind bei jeder einzelnen der 5463 Kombinationen bestimmte Los-Konstellationen denkbar, bei denen Sackgassen auftreten können und Gegner wie im Fall Barcelona ohne Los zugeteilt werden müssen.

Wer die Wahrscheinlichkeiten berechnen will, muss alle Konstellationen untersuchen, also alle Paarungen in allen Reihenfolgen, was offensichtlich nur mit Computerhilfe geht. Einige Leser haben genau dies getan. Ein Leser hat dabei eine Wahrscheinlichkeit von 0,000181… ermittelt. Die geloste Kombination wäre dann sogar ein kleines bisschen unwahrscheinlicher als der Durchschnitt 1/5463=0,0001830… (sofern diese Berechnung stimmt, was ich nicht überprüft habe).

Zehnstellige Primzahlen gesucht

Ich habe ein neues Matherätsel für die Woche: Finden Sie alle zehnstelligen Primzahlen, die aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gebildet werden und jede dieser Ziffern genau einmal enthalten.

Ich bin Ihnen noch die Auflösung der Kopfnuss aus der vorigen Woche schuldig – ein klassisches Logikrätsel. Es ging um zehn Kinder, denen man kleine farbige Zettel auf die Stirn geklebt hat, entweder gelbe oder rote. Die Kinder können die Farbe ihres eigenen Zettels selbst nicht erkennen und dürfen weder miteinander reden noch sich anderweitig austauschen. Der Spielleiter sagt ihnen: “Fünf von euch haben einen roten Zettel auf der Stirn. Alle mit rotem Zettel sollen sofort zu mir kommen.” Wenige Sekunden später sind die fünf Kinder bei ihm. Wie haben sie das angestellt?

Die Lösung ist nicht allzu schwer. Die Kinder wissen, dass fünf von ihnen rote Zettel auf der Stirn haben. Ein Kind, dass nur vier andere Kinder mit einem roten Zettel sieht, weiß daher, dass es selbst einen roten Zettel haben muss und geht schnell zum Spielleiter.

Ein paar Erläuterungen zum Logik-Quiz auf SPON

Heute ist auf SPIEGEL ONLINE ein Logik-Quiz von mir erschienen, zu dem ich viele Kommentare und Fragen per Mail bekommen habe. Viele Lesern meinten, in der Frage 2 (die mit den Berlinern) beziehungsweise in der Antwort dazu sei ein Fehler. Als ich die Mails las, dachte ich das im ersten Moment auch.

Der Kritikpunkt war folgender:  Die Verteilung, bei der sich in allen drei Tüten je ein Berliner mit Marmelade und einer mit Senf befindet, sei gar nicht berücksichtigt und deshalb könne die Antwort nicht stimmen. Im Aufgabentext steht:

„Bei KEINER der drei Tüten stimmt die Beschriftung mit dem Inhalt überein.“

Wenn in allen drei Tüten Marmelade + Senf drin wäre, dann auch in der
Tüte, auf der Marmelade + Senf steht. Das darf aber laut Aufgabe nicht
sein, denn dort steht, dass die Beschriftung bei allen drei Tüten
falsch ist. Daher ist diese Verteilung gar nicht möglich und muss
deshalb auch nicht berücksichtigt werden.

Kritik von drei oder vier Lesern gab es an einer Formulierung in Frage 1. Es geht um Bernds Aussage:

“Genau zwei von uns wollen ein Bier.”

Das ist zugegebenermaßen salopp formuliert. Man könnte das nämlich so verstehen, dass zwei sich ein Bier teilen wollen, was natürlich nicht gemeint war. An dieser Stelle merkt man wohl, dass ich nicht Mathematik, sondern Physik studiert habe! Präziser wäre die Formulierung gewesen:

“Genau zwei von uns wollen je ein Bier.”

Das ist die Sprache der Mathematiker und Logiker. Ich verspreche, mich zu bessern. Aber dann möglichst mit Formulierungen, die wenig formal klingen und trotzdem nicht falsch zu verstehen sind.

Ein paar Fragen gab es noch zur Frage 5, in der es um drei zum Tode verurteilte Männer geht. Die Männer können ihr Leben retten, wenn sich derjenige beim Richter meldet, der eine weiße Mütze trägt. Ich gehe bei der Aufgabe davon aus, dass alle drei Männer gute Logiker sind und nicht lange überlegen müssen, ob sie nun sagen “Ich hab die Mütze” oder ob sie schweigen. Das steht aber nicht im Aufgabentext. Wenn der Mann ganz hinten zu lange überlegt, obwohl er selbst die weiße Mütze hat, könnte der vor ihm stehende tatsächlich denken, er selbst habe sie, weil er vor sich eine schwarze Mütze sieht und der Mann hinter ihm nichts sagt. Ganz ähnlich ist die Situation für den Mann ganz vorn. Beide müssen also erst mal ein Weilchen warten, bevor sie den Mund aufmachen. Sofern alle gute Logiker sind, reichen aber nur ein paar Sekunden – und dann sollte derjenige Bescheid wissen, der die weiße Mütze hat.

Ich hoffe, das trotzdem alle Spaß beim Rätseln hatten. Mir hat die U-Bahn-Aufgabe und die von der Lügner-Insel am besten gefallen.

Kopfnuss aus DeinSPIEGEL: Rechnen verboten

Das Sommerrätsel aus DeinSPIEGEL

Ich denke mir ja schon seit über zwei Jahren die Rätsel für DeinSPIEGEL aus, das Kindermagazin aus dem Spiegel-Verlag. Im Sommer gibt es immer eine besonders schwierige Version und dabei auch Preise zu gewinnen. Das Ganze ist als sehr witziges Comic gezeichnet. Danke an Flix, dem das Kunststück gelungen ist, die Begriffe Primzahl und Muaharharharrr in zwei aufeinanderfolgenden Sätzen unterzubringen.

Für alle, die gern knobeln, hier das erste Rätsel:

1244        =      8
5678        =      5
9000        =      1
1794        =      7
5560        =      5
9999        =      4
1000        =      2
4001        =      ?

Es sieht nach einer komplizierten Rechenregel aus – aber die Lösung lässt sich ohne Formeln und ohne Taschenrechner finden! Wirklich.