Archiv für den Monat: Dezember 2012

Auflösung des Mathe-Fahrrad-Rätsels

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Vor lauter Weihnachtsstress bin ich gar nicht dazu gekommen, die Lösung des letzten Rätsels zu posten. Rollt das Rad ein Stück nach vorn? Bleibt es auf der Stelle stehen? Oder rollt es rückwärts?

Nehmen wir einfach mal an, das Rad hat eine Übersetzung von 1:1. Das bedeutet: Bei einer vollständigen Kurbelumdrehung dreht sich das Hinterrad eine vollständige Runde. Wir schauen uns nun in einem Gedankenexperiment an, was passiert, wenn ich die Pedale um einen sehr kleinen Winkel x drehe. Dann dreht sich logischerweise auch das Hinterrad um diesen Winkel x – die Übersetzung ist ja 1:1. Weil der Radius des Hinterrades größer ist als die Pedallänge, legt das Hinterrad im Moment des Ziehens an dem Seil ein größeres Wegstück nach vorn zurück als die Pedalspitze nach hinten.

Das Seil müsste länger werden, damit das überhaupt möglich ist. Aber ich ziehe ja an dem Seil. Das bedeutet: Das Rad bleibt auf der Stelle stehen, ich kann es durch Ziehen am Seil nicht nach vorn bewegen.

Die Übersetzung eines Rades ist sogar in der Regel größer als 1:1, das Laufrad bewegt sich also in jedem Fall ein größeres Stück nach vorn als die Pedalspitze zurück. Rückwärts rollen kann es nicht, weil ich durch die Ziehbewegung ja eine (nur minimale) Bewegung der Räder nach vorn auslöse, die dann vom straffen Seil gestoppt wird. Deshalb bleibt das Rad auf der Stelle stehen.

Raffiniert: Ein Mathematik- und Fahrrad-Rätsel

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Ich schreibe bei SPIEGEL ONLINE viel über Mathematik und Physik – aber auch über Fahrräder. Besonders freut es mich, wenn diese nicht gerade verwandten Themengebiete dann in einem Text gemeinsam auftauchen. So geschehen jüngst in dem Artikel über die Vor- und Nachteile der Reifengrößen 29 Zoll, 27,5 Zoll und und 26 Zoll bei Mountainbikes. Ein weiteres Beispiel ist der Text übers Freihändigfahren – ein selbst von Physikprofessoren oft falsch erklärtes Phänomen.

Nun kann ich Mathematik und Fahrräder ein weiteres mal zusammenbringen – und zwar in einem hübschen Rätsel, das ich in einem alten Buch von Martin Gardner entdeckt habe. Stellen wir uns ein Fixie vor, ein Rad mit nur einem Gang und starrer Nabe ohne Freilauf. Wenn ich auf einem Fixie sitze und rückwärts trete, fährt das Rad auch rückwärts.

Bild: public domain, Quelle: Wikipedia

Die Pedale stehen senkrecht zum Boden. Am unteren Pedal ist ein rotes Seil befestigt – siehe Zeichnung. Neben dem Rad steht jemand und stützt es mit einer Hand am Sattel, damit es nicht zur Seite umfällt. Eine zweite Person steht hinter dem Rad und beginnt, am roten Seil zu ziehen. Was passiert mit dem Rad, wenn wir annehmen, dass die Reibung zwischen Reifen und Straße so groß ist, dass die Räder weder durchdrehen können noch rutschen? Rollt das Rad ein Stück nach vorn? Bleibt es auf der Stelle stehen? Oder rollt es rückwärts?

Auflösung: Zehnstellige Primzahl gesucht

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Meine letzte Aufgabe dürfte manchem kaum lösbar erschienen sein:

Finden Sie alle zehnstelligen Primzahlen, die aus den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gebildet werden und jede dieser Ziffern genau einmal enthalten.

Aber wie oft bei derartigen Rätseln, ist die Lösung dann doch ziemlich einfach. Wenn es tatsächlich zehnstellige Primzahlen gibt, die diese Bedingung erfüllen, wie soll man die dann finden? Die letzte Ziffer muss ungerade sein, das ist klar. Aber wie prüft man dann, ob eine x-beliebige Zahlenkombination nun mehr als zwei Teiler hat? (Eine Primzahl ist nur durch 1 und sich selbst teilbar.)

Da ist es schon wahrscheinlicher, dass es keine einzige Zahl gibt, die eine Primzahl ist. Und das ist tatsächlich der Fall, denn jede aus den zehn Ziffern gebildete Zahl hat die Quersumme 45 und ist deshalb durch 3 teilbar.