Das verflixte Geschwisterproblem

Mein aktuelles Rätsel der Woche sorgt für einige Diskussionen, mit denen ich durchaus  gerechnet hatte. Denn das Ergebnis erscheint vielen Lesern unplausibel – mir ging es anfangs auch so. Worum geht es?

Martina und Stefanie haben je zwei Kinder. Von Martina wissen wir, dass mindestens eines ihrer Kinder ein Junge ist. Über das Geschlecht des zweiten Kindes ist nichts bekannt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martina zwei Söhne hat? Die richtige Antwort lautet: 1/3.

Eines der Kinder von Stefanie ist ebenfalls ein Junge, über das zweite Kind liegen keine Angaben vor. Allerdings gibt es noch eine zusätzliche Information: Das Kind, von dem wir wissen, dass es ein Junge ist, wurde an einem Dienstag geboren. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Stefanie zwei Söhne hat? Die richtige Antwort lautet nicht etwa 1/3, wie viele glauben, sondern 13/27.

Das mag man kaum glauben. Warum ändert das Wissen über den Geburtstag des einen Kindes die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das andere Kind ein Junge ist?

Die kurze Antwort: Weil das Wissen über den Geburtstag zu einer anderen Auswahl von möglichen Fällen führt (bei denen ein Kind ein Junge ist und an einem Dienstag geboren wurde und jenen Fällen). Und auch zu einer anderen Auswahl der Fälle, bei denen beide Kinder Jungen sind.

Ich möchte das Prinzip des Problems mit zwei Würfeln erklären. Die Augenzahlen 1, 2, 3 stehen für Junge und 4, 5 , 6 für Mädchen. Wenn wir zwei Würfel werfen, ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Jungen 1/4, für zwei Mädchen ebenfalls 1/4 und für Geschwister unterschiedlichen Geschlechts 1/2 (ergibt sich aus Kombinationen Mädchen-Junge und Junge-Mädchen).
Jetzt kommt eine Zusatzinfo hinzu – ähnlich zum Dienstag oben. Der Junge von Stefanie soll zwischen 8 und 16 Uhr auf die Welt gekommen sein. Wir nehmen an, dass Geburten gleichmäßig über den Tag verteilt sind. Es gibt daneben also noch die Zeiten 0-8 und 16-24. Alle drei sind gleichwahrscheinlich.

Wir weisen nun den Augenzahlen diese Uhrzeiten zu:

  • 1 steht für einen Jungen mit der Geburtszeit 0-8,
  • 2 für einen Jungen mit 8-16,
  • 3 für einen Jungen mit 16-24,
  • 4 für ein Mädchen von 0-8,
  • 5 für ein Mädchen von 8-16,
  • 6 für ein Mädchen von 16-24.

Wenn Stefanie ihre zwei Kinder bekommt, muss sie quasi zweimal würfeln. Der erste Würfel steht für das erste Kind, der zweite für das zweite Kind.

Nun stellen wir die Rätselfrage anders:

Zwei Würfel werden geworfen, einer zeigtedie Augenzahl 2 an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der andere Würfel die Augenzahlen 1, 2 oder 3 hat?

Folgende Tabelle zeigt die 6×6 = 36 möglichen Kombinationen beim Werfen zweier Würfel, die alle gleich wahrscheinlich sind:

Zwei Würfel neu

Wie lösen wir die Aufgabe? Wir markieren zuerst alle Felder blau, bei denen mindestens ein Würfel die Augenzahl 2 hat. Das sind eine Spalte und eine Zeile mit zusammen 11 Feldern.

Zwei Würfel eine 2

Danach identifizieren wir unter diesem 11 Feldern jene, bei denen der andere Würfel, der nicht die Augenzahl 2 hat, die Augenzahlen 1, 2 oder 3 hat. Wir finden 5 Felder – hier violett markiert.

Zwei Würfel Lösung

Weil alle diese 11 Kombinationen der zwei Würfel gleich wahrscheinlich sind, lautet das Ergebnis 5/11.

Genau das ist auch das Ergebnis der Frage nach Stefanies anderem Kind, wenn wir von dem einen wissen, dass es ein Junge ist und dieser zwischen 8 und 16 Uhr geboren wurde. Dazu folgende Tabellen – zuerst der Blick auf alle 36 Kombinationen:

Zwei Würfel + Geschwister

Dann die Selektion: Ein Kind ist ein Junge, das zwischen 8 und 16 Uhr geboren wurde – es sind 11 verschiedene Kombinationen möglich (dunkelblaue Felder):

Geschwister Kombinationen neu

Und schließlich die Auswahl der 5 Kombinationen, bei denen beide Kinder Jungen sind – hier violett hervorgehoben:

Geschwister Lösung neu

Wie schon bei dem Würfelbeispiel oben ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kinder  Jungen sind, 5/11. Und nicht etwa 1/3.