Die 3. Auflage wird gedruckt!

Gute Nachrichten von meinem Verlag Kiepenheuer und Witsch: Mein vor nicht mal vier Wochen erschienenes Buch “Nullen machen Einsen groß” geht schon in die dritte Auflage. In dieser Woche ist es auf Platz 30 der Bestsellerliste Taschenbuch Sachbuch geklettert – und mit etwas Glück rutscht es in den nächsten Wochen noch weiter nach oben. Ich freue mich, dass die Mathe-Tricks bei den Lesern gut ankommen. Auf Amazon lag es kurzzeitig sogar auf Platz 2 der Buchbestseller – zwei Wochen später noch mal auf Rang 3. Diese Liste wird allerdings quasi stündlich aktualisiert und steht auch nur für die Nachfrage auf der Plattform.

Nullen machen Einsen großNeben dem guten Verkauf freue ich mich auch darüber, dass Leser bislang nur einen einzigen richtigen Fehler entdeckt haben – nachzulesen hier. Offenbar hat das Lektorat sehr gute Arbeit geleistet – danke an dieser Stelle noch mal an die Kollegen bei Kiwi.

Wer einen Eindruck von meinem neuen Buch bekommen möchte: Auf SPIEGEL ONLINE sind drei kurze Auszüge erschienen:

Wenn man nach den Facebook-Likes geht, dann hat der erste Text über Rechentricks besonders vielen Lesern gefallen (2300 Likes). Ich selbst finde das Trachtenberg-System ja noch spannender (350 Likes) – sicher auch, weil ich es noch nicht kannte. Aber klar, es ist schon spezieller als eine Regel, um schnell und elegant mal 5 zu rechnen.

Heute Verkaufsstart für mein neues Buch

Es geht endlich los: Heute, am 20. Juni, ist mein neues Buch “Nullen machen Einsen groß” offiziell erschienen. Darin beschreibe ich Mathetricks aller Art – von Rechenkniffen bis zu richtigen Zauberkunststücken, die auf Mathematik beruhen. Einige kurze Auszüge werden demnächst auf SPIEGEL ONLINE publiziert.

An dieser Stelle möchte ich ein paar Fotos aus dem vierten Kapitel zeigen, in dem es um Krawattenknoten und Schnürsenkel geht. Es ist unglaublich, wie viele Möglichkeiten es gibt, Schnürsenkel einzufädeln. Ein paar davon sind auf den Fotos zu sehen. Die Fotos stammen von Oliver Mann – ein paar Eindrücke vom Fotoshooting gibt es hier.

Mein neues Buch ist da!

Endlich ist es gedruckt – mein drittes populärwissenschaftliches Buch über Mathematik. In “Nullen machen Einsen groß” geht es um mathematische Kniffe und Kunststücke aller Art. Natürlich sind Rechentricks dabei, aber auch geometrische Spielereien wie das Dritteln eines Winkels und richtige Zaubertricks mit Geburtstagen, Dominosteinen und Spielkarten, die Mathematik nutzen.

Nullen machen Einsen groß

Ich habe ein gutes Gefühl und glaube, dass es tatsächlich mein bisher bestes Buch ist. Es bietet eine bunte Mischung aus relativ leicht zu verstehenden Tricks, enthält aber auch Anspruchsvolleres wie etwa die kaum noch bekannte Trachtenberg-Schnellrechenmethode. Spannend ist sicher auch das Kapitel über Schnürsenkel und Krawattenknoten. Und wer gern knobelt, kann sich an insgesamt 45 Matherätseln ausprobieren.

Ich hoffe, das Buch kommt bei den Lesern ähnlich gut an wie “Je mehr Löcher, desto weniger Käse”. Das hat sich mehrere Wochen in den Top 20 der Bestsellerliste gehalten – und dorthin sollten es auch die Mathetricks schaffen ;-)

Nachgerechnet: Der wahre Sieger des ESC 2013

Jedes Jahr das Gleiche beim Eurovision Song Contest: seltsame Auftritte, noch seltsamere Kostüme und zum Schluss die Vetternwirtschaft bei der Punktvergabe. Mir kam es schon immer ungerecht vor, dass kleine Länder wie San Marino oder Dänemark genauso viele Punkte vergeben dürfen wie Deutschland oder Italien. Ist dieses System vielleicht sogar Schuld daran, dass gefühlt immer nur Skandinavier, Ex-Ostblock- oder Balkanländer gewinnen?

Ich habe das einfach mal ausgerechnet. Dabei bin ich davon ausgegangen, dass die Punkte jedes Landes nach dessen Einwohnerzahl gewichtet werden sollten. Größere Länder bekommen dadurch mehr Gewicht als kleinere. 39 Länder durften beim ESC 2013 abstimmen, die mittlere Einwohnerzahl dieser 39 Staaten liegt bei 17,8 Millionen. Die Gewichtung funktioniert so: Ein Land, das doppelt so viele Einwohner hat wie der Durchschnittswert von 17,8 Millionen, darf auch doppelt so viele Punkte vergeben. Aus ursprünglich 12 Punkten für den Erstplatzierten werden so 24, 10 Punkte werden zu 20 und so weiter.

Ein Land hingegen, das halb so viele Bewohner hat wie der Mittelwert, darf nur halb so viele Punkte vergeben. Also 6 statt 12 für den Erstplatzierten, 5 statt 10 für den Zweiten und 0,5 statt 1 für den mit den wenigsten Punkten. Die Gewichtung verändert die Verteilung der Punkte, weil Giganten wie Russland (142 Mio. Einwohner) plötzlich nicht nur 58 Punkte vergeben (58 = 12+10+8+7+6+5+4+3+2+1), sondern acht mal so viele, nämlich 464. Deutschland (81 Mio.) kommt so auf 264 Punkte. Die Gesamtmenge der von allen 39 Ländern vergebenen Punkte bleibt jedoch unverändert – es wird ja schließlich nur anders gewichtet.

Und wer ist nun der gewichtete ESC-Sieger 2013? Es bleibt bei Dänemark – und ich muss gestehen, das hat mich überrascht. Das Siegerlied holt gewichtet mit 312,4 sogar noch mehr Punkte als die 281 aus der regulären Abstimmung. Den zweiten Platz sichert sich wiederum Aserbaidschan – mit gewichtet 256,5 statt 234 Punkten. Auf Platz drei aber landet nach der Neuberechnung Griechenland, das übrigens auch mein Favorit war. In der offiziellen ESC-Ranglisten erreichte es nur Rang sieben.

Copyright der Grafiken: Holger Dambeck

Aber ist eine solche Gewichtung wirklich fairer? Die Vetternwirtschaft wird tatsächlich verringert, denn kleine Länder, die sich gegenseitig Stimmen geben, beeinflussen die Gesamtabrechnung weniger stark. Doch nach wie vor dürfen Länder nicht für den eigenen Teilnehmer stimmen – und das wird für Kandidaten aus bevölkerungsreichen Staaten wie Russland, Deutschland oder Frankreich sogar zu einem echten Nachteil. Sie können dann von Vornherein nicht so viele Punkte einheimsen wie Dänemark oder Malta, weil die höher gewichteten Punkte aus ihrer Heimat ja nur für andere Länder zählen. Zudem muss die Einwohnerzahl nicht zwingend mit der Zahl der Anrufer aus einem Land korrelieren – eigentlich müsste man aber die tatsächlich abgegebenen Stimmen zählen wie bei einer demokratischen Wahl.

Das ganze Verfahren zeigt damit vor allem eines: Wie schwierig es ist, ein faires Wahlverfahren zu finden. Vielleicht ist das ja auch der eigentliche Sinn des Eurovision Song Contest.

Tabelle der Punktzahlen offiziell und gewichtet

Rangfolge laut offizieller Statistik und Punkte gewichtet

Rangfolge laut offizieller Statistik und Punkte gewichtet

Die Daten zum ESC 2013 habe ich von der Webseite escchat.com entnommen, die Einwohnerzahlen der Länder stammen aus dem CIA World Factbook. Wer gern selbst mit den Zahlen spielen will: Hier ist die Excel-Datei ESC Punkte gewichtet zum Download.

Velodrom Berlin: Original und Fälschung

Schön war’s auf der Fahrradschau am letzten Wochenende. Ich habe darüber auch auf SPIEGEL ONLINE berichtet. Eine tolle Idee war das Mini-Velodrom, das die Organisatoren erstmals 2012 aufgebaut hatten. Ich weiß nicht, ob ich mich da reintrauen würde. Man muss sehr konzentriert sein, ein Fahrfehler kann zum Sturz führen. Im schlimmsten Fall fliegt man raus aus der Schüssel auf den harten Beton.

Die Fotos (Copyright liegt bei mir) zeigen das Original beim Sechstagerennen Berlin 2013 und außerdem die Schüssel, die der Sieger des Rennens auf der Fahrradschau bekommen hat.

Sechstagerennen und Volleyball

Am letzten Wochenende habe ich mich als Sportfotograf versucht. Trotz ISO 4000 sind die meisten Bilder unscharf geworden, mir fehlen einfach noch ein paar Tausend Euro für lichtstarke Objektive. Aber ein paar Bilder sind zumindest halbwegs gelungen. Großen Spaß hatten wir beim Sechstagerennen im Berliner Velodrom. Das ist wie im Zirkus, nur dass die Artisten nicht am Trapez unterwegs sind, sondern auf dem Rad. Die machen einfach eine gute Show, animieren das Publikum freihändig zum Mitklatschen – und das Publikum am Familiensonntag fand’s super. Mir hat besonders gut das Antiquierte an der Veranstaltung gefallen. Diese seltsamen Motorräder beim Steherrennen, die komischen Bikes beim Derny und die altmodische VIP-Lounge im Innenraum. Berlin kann richtig sympathisch sein! Die Bilder ganz unten sind von zwei Spielen der BR Volleys. Dort gefällt es mir inzwischen auch ganz gut. Über manchen eingespielten Jingle muss man großzügig hinweghören – immerhin gewinnen die Volleyballer praktisch jedes Spiel. Das kenne ich von meinen favorisierten Fußballmannschaften anders.

Copyright Fotos: Holger Dambeck

Making of “Nullen machen Einsen groß”

Das Manuskript meines neuen Buchs über Mathetricks ist fertig. Ich bin gespannt, was meine Lektorin dazu sagt, immerhin sind auch zwei, drei längere Beweise mit drin. Die Recherche hat auf jeden Fall großen Spaß gemacht. Ich habe faszinierende Rechentricks kennengelernt, die längst vergessene Trachtenberg-Schnellrechenmethode und tolle mathematische Kunststücke mit Würfeln, Dominosteinen und Spielkarten.

Die Fotos stammen vom gestrigen Fotoshooting für das Buch im Studio von Heidi Scherm. Der Fotograf Oliver und ich waren den ganzen Tag beschäftigt – es war sehr interessant. Ich habe eine Menge über Blenden, Schatten und Objektive gelernt. Abgelichtet wurden unter anderem Schnürsenkel, Krawattenknoten und Möbiusbänder. Das Buch “Nullen machen Einsen groß” erscheint im Juni.

Champions-Leage-Auslosung noch viel komplizierter

Die Resonanz hat mich überrascht: Da schreibe ich eine kurze, keinesfalls vollständige mathematische Analyse über den seltsamen Zufall bei der Auslosung des Champions-Leage-Achtelfinals. Und Dutzende Leser schicken mir die Ergebnisse ihrer eigenen Berechnungen, die mehrheitlich bestätigen, was ein Kollege aus der SPIEGEL-Dokumentation mit einem kleinen Computerprogramm herausgefunden hat. Bei der Auslosung waren genau 5463 verschiedene Achtelfinal-Varianten möglich.

Allerdings ist das nur die halbe Wahrheit. Denn wie einige Leser zu Recht angemerkt haben, sind diese 5463 Kombinationen nicht automatisch gleichwahrscheinlich, weshalb die Wahrscheinlichkeit, eine Achtelfinalvariante zweimal hintereinander auszulosen auch nicht zwingend 1/5463 sein muss.

Dass das Problem kombinatorisch verzwickter ist, als es auf den ersten Blick aussieht, zeigt schon der Ablauf der Auslosung, den ich mir auch erst im Nachhinein auf YouTube angeschaut habe. Spannend wird die Prozedur ab Achtelfinale 4. Die ersten drei Achtelfinals sind da schon ausgelost: Galatasaray-Schalke, Celtic-Turin und Arsenal-Bayern.

Zuerst wird stets ein Team aus dem Topf der Zweitplatzierten gezogen, und dann wird ihm ein Gruppensieger zugelost. Das nächste Los aus der Gruppe der Zweitplatzierten ist Donezk. Von den fünf Teams im Topf der Erstplatzierten scheidet Turin aus (selbe Gruppe wie Donezk). Als Gegner wird dann Dortmund gezogen.

Fürs nächste Achtelfinale wird der Zweitplatzierte Mailand gezogen – und dann ist die Loserei erst mal vorbei. Denn als Gegner kommt nur Barcelona in Frage, weil ansonsten ein rein spanisches Achtelfinale unvermeidlich ist, was das Reglement verbietet.

Zu diesem Zeitpunkt sind mit Madrid und Valencia noch zwei spanische Teams im Topf der drei verbliebenen Zweitplatzierten. Gleichzeitig befinden sich die beiden spanischen Teams Malaga und Barcelona noch im Topf der Erstplatzierten – gemeinsam mit ManU und Paris.

Das eben gezogene Mailand könnte außer gegen Malaga (selbe Gruppe wie Mailand) eigentlich gegen jedes der drei Teams ManU, Paris und Barcelona spielen. Bekäme Mailand jedoch ManU oder Paris zugelost, gäbe es in den letzten drei Partien vier spanische Teilnehmer und damit zwangsläufig eine rein spanische Begegnung. Also muss einer der beiden spanischen Gruppenersten Mailand zugeordnet werden, und das kann nur Barcelona sein, denn Mailand und Malaga waren in derselben Gruppe.

Danach wird Madrid ManU zugelost und die beiden letzten Spiele stehen damit auch fest: Porto muss gegen Malaga spielen und Valencia gegen Paris – wieder um ein rein spanisches Duell zu verhindern.

Kombinatorisch ist das eine interessante Situation: Offensichtlich gibt es bestimmte Konstellationen bei der Auslosung, in denen die ersten ausgelosten Paarungen die übrigen Paarungen gleich mit festlegen oder zumindest die Zahl der Möglichkeiten stark einschränken. Man könnte glauben, dass die konkrete Situation bei der Verlosung wahrscheinlicher ist als andere mögliche Achtelfinals, weil im diesem Fall gleich zwei Begegnungen nicht gelost wurden, sondern sich automatisch ergaben. (Bemerkung: Valencia wurde als vorletzter Zweiter zwar gelost, aber der Gegner Paris stand schon vorher fest.)

Ganz so einfach ist die Sache nun aber auch nicht, denn die konkreten Achtelfinal-Paarungen könnten auch in ganz anderer Reihenfolge gelost werden, z.B. Porto-Malaga zuerst. Dabei kann es passieren, dass Situationen, bei denen ein Gegner ohne Auslosung feststeht, gar nicht auftreten. Im Grunde sind bei jeder einzelnen der 5463 Kombinationen bestimmte Los-Konstellationen denkbar, bei denen Sackgassen auftreten können und Gegner wie im Fall Barcelona ohne Los zugeteilt werden müssen.

Wer die Wahrscheinlichkeiten berechnen will, muss alle Konstellationen untersuchen, also alle Paarungen in allen Reihenfolgen, was offensichtlich nur mit Computerhilfe geht. Einige Leser haben genau dies getan. Ein Leser hat dabei eine Wahrscheinlichkeit von 0,000181… ermittelt. Die geloste Kombination wäre dann sogar ein kleines bisschen unwahrscheinlicher als der Durchschnitt 1/5463=0,0001830… (sofern diese Berechnung stimmt, was ich nicht überprüft habe).

Auflösung des Mathe-Fahrrad-Rätsels

Vor lauter Weihnachtsstress bin ich gar nicht dazu gekommen, die Lösung des letzten Rätsels zu posten. Rollt das Rad ein Stück nach vorn? Bleibt es auf der Stelle stehen? Oder rollt es rückwärts?

Nehmen wir einfach mal an, das Rad hat eine Übersetzung von 1:1. Das bedeutet: Bei einer vollständigen Kurbelumdrehung dreht sich das Hinterrad eine vollständige Runde. Wir schauen uns nun in einem Gedankenexperiment an, was passiert, wenn ich die Pedale um einen sehr kleinen Winkel x drehe. Dann dreht sich logischerweise auch das Hinterrad um diesen Winkel x – die Übersetzung ist ja 1:1. Weil der Radius des Hinterrades größer ist als die Pedallänge, legt das Hinterrad im Moment des Ziehens an dem Seil ein größeres Wegstück nach vorn zurück als die Pedalspitze nach hinten.

Das Seil müsste länger werden, damit das überhaupt möglich ist. Aber ich ziehe ja an dem Seil. Das bedeutet: Das Rad bleibt auf der Stelle stehen, ich kann es durch Ziehen am Seil nicht nach vorn bewegen.

Die Übersetzung eines Rades ist sogar in der Regel größer als 1:1, das Laufrad bewegt sich also in jedem Fall ein größeres Stück nach vorn als die Pedalspitze zurück. Rückwärts rollen kann es nicht, weil ich durch die Ziehbewegung ja eine (nur minimale) Bewegung der Räder nach vorn auslöse, die dann vom straffen Seil gestoppt wird. Deshalb bleibt das Rad auf der Stelle stehen.

Raffiniert: Ein Mathematik- und Fahrrad-Rätsel

Ich schreibe bei SPIEGEL ONLINE viel über Mathematik und Physik – aber auch über Fahrräder. Besonders freut es mich, wenn diese nicht gerade verwandten Themengebiete dann in einem Text gemeinsam auftauchen. So geschehen jüngst in dem Artikel über die Vor- und Nachteile der Reifengrößen 29 Zoll, 27,5 Zoll und und 26 Zoll bei Mountainbikes. Ein weiteres Beispiel ist der Text übers Freihändigfahren – ein selbst von Physikprofessoren oft falsch erklärtes Phänomen.

Nun kann ich Mathematik und Fahrräder ein weiteres mal zusammenbringen – und zwar in einem hübschen Rätsel, das ich in einem alten Buch von Martin Gardner entdeckt habe. Stellen wir uns ein Fixie vor, ein Rad mit nur einem Gang und starrer Nabe ohne Freilauf. Wenn ich auf einem Fixie sitze und rückwärts trete, fährt das Rad auch rückwärts.

Bild: public domain, Quelle: Wikipedia

Die Pedale stehen senkrecht zum Boden. Am unteren Pedal ist ein rotes Seil befestigt – siehe Zeichnung. Neben dem Rad steht jemand und stützt es mit einer Hand am Sattel, damit es nicht zur Seite umfällt. Eine zweite Person steht hinter dem Rad und beginnt, am roten Seil zu ziehen. Was passiert mit dem Rad, wenn wir annehmen, dass die Reibung zwischen Reifen und Straße so groß ist, dass die Räder weder durchdrehen können noch rutschen? Rollt das Rad ein Stück nach vorn? Bleibt es auf der Stelle stehen? Oder rollt es rückwärts?